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可持久化线段树(主席树)

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可持久化前提

  • 数据结构本身的拓扑结构不变

局限性

  • 无法使用懒标记，很难进行区间修改（但可以标记永久化（局限性也大的不行））

所解决的问题

  • 查询数据结构的所有历史版本

核心思想

  • 只记录当前版本和之前版本不一样的地方-目的：降低算法空间复杂度，对于线段树的每一次修改，我们最多涉及$\log(n)$个节点，最多进行n次操作，空间复杂度级别就被降为$n\log(n)$。

  • 线段树建立

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    struct Node{
    	int l, r;//表示左右节点的下标
        int cnt;//当前区间中一共有多少个数
    };

例题：Acwing 查找第K小数

  • 时空复杂度：$n\log(n)$.

  • 我们不难发现（读题可知）只有100000个数,但每个数的大小可以到达1000000000，所以对于每一个数进行离散化在数值上建立线段树，维护每个数值区间中一共有多少个数

  • 我们先来考虑在$[1,n]$上维护k小值无标题

  • 我们还是不难发现，对于这个序列整体进行二分操作使左边的数的个数等于k-1即可，以此我们只需推论到区间$[l, r]$即可，我们再根据线段树的性质可知，每一个点所在的线段树的区间是一定的，且每一个数在线段树中出现的次数也是一定的，于是我们运用前缀和的思想，查询线段树上$[l, r]$的第k个值(因为它前面的数字都比它小) （听不懂的话，请看具体操作（语文还是太差了））

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#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<set>
#include<vector>
using namespace std;
const int N = 2e5 + 5, M = 100000;
int n, m;
int a[N];
struct Node{
	int l, r;
	int cnt;
}tr[(int)5e6];
int root[N], idx; // 每个版本的根节点 
vector<int>nums;//离散化
int find(int x)
{
	return lower_bound(nums.begin(), nums.end(), x) - nums.begin();
}
int build(int l, int r)
{
	int p = ++ idx;
	if(l == r) return p;
	int mid = l + r >> 1;
	tr[p].l = build(l, mid), tr[p].r = build(mid + 1, r);
	return p;
}
int insert(int p, int l, int r, int x)
{
    int q = ++ idx;
    tr[q] = tr[p];
    if (l == r)
    {
        tr[q].cnt ++ ;
        return q;
    }
    int mid = l + r >> 1;
    if (x <= mid) tr[q].l = insert(tr[p].l, l, mid, x);
    else tr[q].r = insert(tr[p].r, mid + 1, r, x);
    tr[q].cnt = tr[tr[q].l].cnt + tr[tr[q].r].cnt;
    return q;
}
int query(int q, int p, int l, int r, int k)
{
    if (l == r) return r;
    int cnt = tr[tr[q].l].cnt - tr[tr[p].l].cnt;//前缀和思想 
    int mid = l + r >> 1;
    if (k <= cnt) return query(tr[q].l, tr[p].l, l, mid, k);
    else return query(tr[q].r, tr[p].r, mid + 1, r, k - cnt);//减去左区间的
}
int main()
{
	scanf("%d%d", &n, &m);
    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
    {
        scanf("%d", &a[i]);
        nums.push_back(a[i]);
    }
	sort(nums.begin(), nums.end());
    nums.erase(unique(nums.begin(), nums.end()), nums.end());
	root[0] = build(0, nums.size() - 1);
	for (int i = 1; i <= n; i ++ )
        root[i] = insert(root[i - 1], 0, nums.size() - 1, find(a[i]));
//	for(int i = 0;i <= n;i ++) cout << root[i] << endl;
	while(m --)
	{
		int l, r, k;
		scanf("%d%d%d", &l, &r, &k);
		printf("%d\n", nums[query(root[r], root[l - 1], 0, nums.size() - 1, k)]);
	}
	return 0;
}
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顺便捞一下(思想相同)luogu P3919可持久化线段树

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#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<set>
#include<vector>
using namespace std;
const int N = 2e6 + 5;
struct Node{
	int l, r;
	int v;
}tr[N << 4];
int n, m;
int a[N];
int idx;
int root[N];
int build(int l, int r)
{
	int p = ++ idx;
	if(l == r)
	{
		tr[p].v = a[l];
		return p;
	}
	int mid = l + r >> 1;
	tr[p].l = build(l, mid);
	tr[p].r = build(mid + 1, r);
	return p;
}
int modify(int q, int l, int r, int x, int y)
{
	int p = ++ idx;
	tr[p] = tr[q];
	if(l == r)
	{
		tr[p].v = y;
		return p;
	}
	int mid = l + r >> 1;
	if(x <= mid) tr[p].l = modify(tr[q].l, l, mid, x, y);
	else tr[p].r = modify(tr[q].r, mid + 1, r, x, y);
	return p;
}
int query(int q, int l, int r, int x)
{
	if(l == r) return tr[q].v;
	int mid = l + r >> 1;
	if(x <= mid) return query(tr[q].l, l, mid, x);
	else return query(tr[q].r, mid + 1, r, x);
}
int main()
{
	scanf("%d%d", &n, &m);
	for(int i = 1;i <= n;i ++) scanf("%d", &a[i]);
	root[0] = build(1, n);
	int x, op, t, y;
	for(int i = 1;i <= m;i ++)
	{
		scanf("%d%d%d", &x, &op, &t);
		if(op == 1)
		{
			scanf("%d", &y);
			root[i] = modify(root[x], 1, n, t, y);
		}
		if(op == 2)
		{
			printf("%d\n", query(root[x], 1, n, t));
			root[i] = root[x];
		}
	}
	return 0;
}
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