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最小圆覆盖

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简介

相关性质

  • 最小覆盖圆是唯一的。
  • 若 $P$ 不在 $S$ 的最小覆盖圆的内部， 则 $P$ 一定在 ${P}\cup S$ 的最小覆盖圆的边上。

推导

由上面的性质我，如果前 $i - 1$ 个点的最小圆覆盖是 $C$ 那么我们可以得到：

  • 如果第 $i$ 个点在圆上的话，那么前$i - 1$ 个点的最小圆覆盖是 $C$。
  • 如果不在，那么 $i$ 一定在前 $i$ 个点的最小覆盖圆上。
  • 因此，我们固定 $i$，以 $P_i$ 为圆心，以0为半径，继续寻找还有那两个点在前 $i$ 个点的最小圆覆盖上。
  • 从 1 到 $i - 1$ 枚举 $j$ ，找到第一个点 $j$ 不在 $C$ 上，当前圆心就为 $\frac{P_i + P_j} 2$，半径就为 $ |P_i P_j|$。
  • 紧接着再固定圆心，继续不停寻找第三个点 $P_k$，根据三点固定一圆，$C$ 即可固定。

求解

  • 将点随机化。
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for(int i = 2;i <= n;i ++)
    if(i不在圆内则i必须在1~i的圆的边上)
    {
         // 插入i，重构圆
		遍历圆
         for(int j = 1;j < i;j ++)
             if(j不在圆内，则j就必须在1~j - 1和i，且i在圆边上的最小圆的边上)
                 圆<-以Pi，Pj为直径的圆
                 	for(int k = 1;k < j;k ++)
                        if(k不在圆内，则j就必须在1~k - 1和i，j，且i，j在圆边上的最小圆的边上)
    }

外接圆的补充说明

初中的中垂线确定圆心的方法给予我们启示，我们需要以下工具：

  • 求得两个向量的中点。
  • 将一个向量旋转 $90^\circ$。
  • 用一点和一条向量确定一条直线。
  • 求两条直线的交点。

第一个任务，将向量直接 $/2$。

第二个任务，$rotate$ 函数即可解决。

第三个任务，不说了。

第四个任务，根据向量的叉乘我们可以知道

image

用 $O = I + Vt$，$(I + Vt - P) * W = 0$ 解得
$$
\begin{align}
t &= \frac {(P - I) * W}{V*W} \\
O &= I + Vt
\end{align}
$$
由此，圆心即求出来了。

例题

P1742 最小圆覆盖

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#include<bits/stdc++.h>
#define x first
#define y second
#define PII pair<double, double>
using namespace std;
const int N = 1e5 + 5;
const double eps = 1e-12;
const double PI = acos(-1);
int n;
PII q[N];
struct Circle{
	PII p;
	double r;
};
int sign(double x)
{
	if(fabs(x) < eps) return 0;
	if(x < 0) return -1;
	return 1;
}
int dcmp(double x, double y)
{
	if(fabs(x - y) < eps) return 0;
	if(x < y) return -1;
	return 1;
}
// 基本运算 
PII operator- (PII a, PII b)
{
	return {a.x - b.x, a.y - b.y};
}
PII operator+ (PII a, PII b)
{
	return {a.x + b.x, a.y + b.y};
}
PII operator* (PII a, double b)
{
	return {a.x * b, a.y * b};
}
PII operator/ (PII a, double b)
{
	return {a.x / b, a.y / b};
}
double operator* (PII a, PII b)
{
	return a.x * b.y - a.y * b.x;
} 

PII rotate(PII a, double b) // 将向量a旋转b角度 
{
	return {a.x * cos(b) + a.y * sin(b), -a.x * sin(b) + a.y * cos(b)};
}
double get_dist(PII a, PII b) // 计算a到 b的距离 
{
    double dx = a.x - b.x;
    double dy = a.y - b.y;
    return sqrt(dx * dx + dy * dy);
}

PII get_line_intersection(PII p, PII v, PII q, PII w) // 求交点 
{
	PII u = p - q;
	double t = w * u / (v * w);
	return p + v * t;
}
pair<PII, PII> get_line(PII a, PII b) // 求中垂线 
{
	return {(a + b) / 2, rotate(b - a, PI / 2)};
}
Circle get_circle(PII a, PII b, PII c) // 求圆心 
{
	pair<PII, PII> u = get_line(a, b), v = get_line(a, c);
	PII p = get_line_intersection(u.x, u.y, v.x, v.y);
	return {p, get_dist(p, a)};
}
int main()
{
	scanf("%d", &n);
	for(int i = 0;i < n;i ++) scanf("%lf%lf", &q[i].x, &q[i].y);
	random_shuffle(q, q + n);
	Circle c({q[0], 0});
	for(int i = 1;i < n;i ++)
		if(dcmp(c.r, get_dist(c.p, q[i])) < 0)
		{
			c = {q[i], 0};
			for(int j = 0;j < i;j ++)
			{
				if(dcmp(c.r, get_dist(c.p, q[j])) < 0)
				{
					c = {(q[i] + q[j]) / 2, get_dist(q[i], q[j]) / 2};
					for(int k = 0;k < j;k ++)
					{
						if(dcmp(c.r, get_dist(c.p, q[k])) < 0)
							c = get_circle(q[i], q[j], q[k]);
					}
				}
			}
		}
	printf("%.10lf\n", c.r);
	printf("%.10lf %.10lf\n", c.p.x, c.p.y);
	return 0;
}

P4288 [SHOI2014]信号增幅仪

  • 严格来讲如果知道压缩椭圆，旋转坐标轴的话应该还是算模板题的。
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#include<bits/stdc++.h>
#define x first
#define y second
#define PII pair<double, double>
using namespace std;
const int N = 50010 + 5;
const double eps = 1e-12;
const double PI = acos(-1);
int n;
PII q[N];
struct Circle{
	PII p;
	double r;
};
int sign(double x)
{
	if(fabs(x) < eps) return 0;
	if(x < 0) return -1;
	return 1;
}
int dcmp(double x, double y)
{
	if(fabs(x - y) < eps) return 0;
	if(x < y) return -1;
	return 1;
}
PII operator- (PII a, PII b)
{
	return {a.x - b.x, a.y - b.y};
}
PII operator+ (PII a, PII b)
{
	return {a.x + b.x, a.y + b.y};
}
PII operator* (PII a, double b)
{
	return {a.x * b, a.y * b};
}
PII operator/ (PII a, double b)
{
	return {a.x / b, a.y / b};
}
double operator* (PII a, PII b)
{
	return a.x * b.y - a.y * b.x;
}
PII rotate(PII a, double b)
{
	return {a.x * cos(b) + a.y * sin(b), -a.x * sin(b) + a.y * cos(b)};
}
double get_dist(PII a, PII b)
{
    double dx = a.x - b.x;
    double dy = a.y - b.y;
    return sqrt(dx * dx + dy * dy);
}

PII get_line_intersection(PII p, PII v, PII q, PII w) // 求交点 
{
	PII u = p - q;
	double t = w * u / (v * w);
	return p + v * t;
}
pair<PII, PII> get_line(PII a, PII b)
{
	return {(a + b) / 2, rotate(b - a, PI / 2)};
}
Circle get_circle(PII a, PII b, PII c)
{
	pair<PII, PII> u = get_line(a, b), v = get_line(a, c);
	PII p = get_line_intersection(u.x, u.y, v.x, v.y);
	return {p, get_dist(p, a)};
}
int main()
{
	scanf("%d", &n);
	for(int i = 0;i < n;i ++) scanf("%lf%lf", &q[i].x, &q[i].y);
	double a, p;
	scanf("%lf%lf", &a, &p);
	for(int i = 0;i < n;i ++)
	{
		q[i] = rotate(q[i], a / 180 * PI);
		q[i].x /= p;
	}
	random_shuffle(q, q + n);
	Circle c({q[0], 0});
	for(int i = 1;i < n;i ++)
		if(dcmp(c.r, get_dist(c.p, q[i])) < 0)
		{
			c = {q[i], 0};
			for(int j = 0;j < i;j ++)
				if(dcmp(c.r, get_dist(c.p, q[j])) < 0)
				{
					c = {(q[i] + q[j]) / 2, get_dist(q[i], q[j]) / 2};
					for(int k = 0;k < j;k ++)
					{
						if(dcmp(c.r, get_dist(c.p, q[k])) < 0)
						{
							c = get_circle(q[i], q[j], q[k]);
						}
					}
				}
		}
	printf("%.3lf", c.r);
	return 0;
}