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P4655 [CEOI2017]Building Bridges

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精度永远是这么的难调。

$O(n^2)$的暴力dp几乎是送的，不讲。

设sum[i]表示前i个w的和，f[j]表示以当前点为终点的最优答案。

所以答案就是：$f(i)= \min (f(j)+sum(i)-sum(j)-w(i)+(h(i)-h(j))^2)$。

推导一波：
$$
\begin{aligned}
f(i) - sum + w(i) - h(i)^2 = \min(f(j)-sum(j)-2h(i)h(j)+h(j)^2)
\end{aligned}
$$
令右边这堆东西为 p(j)。

那么当p(j)<p(k)时：
$$
\begin{aligned}
p(j)&<p(k) \\
f(j)-sum(j)-2h(i) h(j)+h(j)^2 &< f(k)-sum(k)-2h(i)h(k)+h(k)^2\\
f(j)-sum(j)+h(j)^2-(f(k)-sum(k)+h(k)^2)&<(2h(j)-2h(k))h(i) \\
\frac{f(j)-sum(j)+h(j)^2-(f(k)-sum(k)+h(k)^2)}{2h(j)-2h(k)}&<h(i)
\end{aligned}
$$
这就是很经典的斜率优化$\frac{ \Delta y}{\Delta x}=k$的形式，注意h(i)并不单增，使用cdq分治解决。

注意精度，凸包形式，斜率不存在的情况。

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#include<bits/stdc++.h>
#define LL long long
#define PII pair<int, int>
using namespace std;
template <class T>
inline void read(T &res)
{
    res = 0; bool flag = 0;
    char c = getchar();
    while('0' > c || c > '9') { if(c == '-') flag = 1; c = getchar();}
    while('0' <= c && c <= '9') res = (res << 3) + (res << 1) + (c ^ 48), c = getchar();
    if(flag) res = -res;
}
template <class T, class ...Arg>
inline void read(T &res, Arg &...com){ read(res), read(com...);}
template <class T>
void out(T res)
{
    if(res > 9) out(res / 10);
    putchar(res % 10 + '0');
}
template <class T>
inline void write(T res)
{
    if(res < 0) putchar('-'), res = -res;
    out(res), putchar(' ');
}
const int N = 1e5 + 5;
const LL Inf = 1e18;
const double esp = 1e-8;
inline int com(double x, double y) // here
{
    if(fabs(x - y) <= esp) return 0;
    if(x < y) return -1;
    return 1;
}
int n, m;
struct Node{
    LL h, sum, f, w, id;
    bool operator< (Node b)
    {
        return h < b.h;
    }
}a[N];
int hh, tt, q[N];
inline double get_k(int x, int y)
{
    LL x1 = 2 * a[x].h, x2 = 2 * a[y].h;
    LL y1 = a[x].f - a[x].sum + a[x].h * a[x].h, y2 = a[y].f - a[y].sum + a[y].h * a[y].h;
    if(x1 == x2) return y1 < y2 ? Inf : -Inf; // here
    return (double)(y2 - y1) / (double)(x2 - x1);
}
inline void add(int x)
{
    while(hh < tt && com(get_k(q[tt], x), get_k(q[tt - 1], q[tt])) <= 0) tt --; // here
    q[++ tt] = x;
}
inline LL answer(int x, int y)
{
    return (a[x].h - a[y].h) * (a[x].h - a[y].h) + a[x].sum - a[y].sum - a[x].w + a[y].f;
}
inline bool cmp_id(Node x, Node y)
{
    return x.id < y.id;
}
void cdq(int l, int r)
{
    if(l == r) return ;
    int mid = l + r >> 1;
    cdq(l, mid);
    sort(a + l, a + mid + 1), sort(a + mid + 1, a + r + 1);
    hh = 1, tt = 0;
    for(int i = l;i <= mid;i ++) add(i);
    for(int i = mid + 1;i <= r;i ++)
    {
        while(hh < tt && com(a[i].h, get_k(q[hh], q[hh + 1])) >= 0) hh ++;
        a[i].f = min(a[i].f, answer(i, q[hh]));
    }
    sort(a + mid + 1, a + r + 1, cmp_id);
    cdq(mid + 1, r);
}
int main()
{
    read(n);
    for(int i = 1;i <= n;i ++) read(a[i].h), a[i].f = Inf, a[i].id = i;
    for(int i = 1;i <= n;i ++) read(a[i].w), a[i].sum = a[i - 1].sum + a[i].w;
    a[1].f = 0;
    cdq(1, n);
    write(a[n].f);
    return 0;
}