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NOI2018 屠龙勇士

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卡long long的伞兵出题人。

excrt裸题。

Solution

首先发现每只怪物被哪把剑干死是确定的，我们首先将其预处理出来，然后就会惊奇的发现式子长这样：
$$
\forall i,x\times atk_i \equiv a_i \ (mod \ p_i)\\
x \times atk_i \ge a_i
$$
首先第二个式子是废的，随便统计即可，对于第一个式子，我们发现这是$excrt$的裸题，由于之前没写博客，就在这写了。

首先我们想办法先把$atk$搞掉（下文自动省略下标），发现当$(atk,p)!=0$时不是很好搞，我们先将其最大公因数除掉，显然如果$a$无法整除其最大公因数，此题无解，然后我们进行一波推导之后可以发现$atk$在模$p$意义下的逆元为：
$$
\begin{aligned}
atk \times x \equiv 1 \pmod{p} \\
atk\times x+ k\times p=1
\end{aligned}
$$
直接丢进exgcd即可（注意最后要转化成正数然后还要取模），设$a$乘上$atk$的逆元为$v$。

之后我们再观察一下目前的式子：
$$
\begin{aligned}
\left{\begin{matrix}
x \equiv &v_1 & \pmod{p_1} \
\vdots &\vdots &\vdots \
x \equiv &v_n & \pmod{p_n}
\end{matrix}\right.
\end{aligned}
$$
考虑进行excrt，下面是其过程：

考虑每次合并两个方程：
$$
x \equiv v_1 \pmod{p_1} \\
x \equiv v_2 \pmod{p_2}
$$
可转化成：
$$
x = v_1 + k_1 \times p_1 \\
x = v_2 + k_2 \times p_2
$$
合并上式：
$$
v_2-v_1=k1\times p_1 - k_2 \times p_2
$$
再丢进exgcd中解一个$k_1$，之后就可以算出对于这两个式子合法的$x$，那么合并后的式子就是：
$$
x \equiv k_1\times p_1+v_1 \pmod{ lcm(p_1,p_2)}
$$
之后依次合并即可。

Code

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#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
template <class T>
inline void read(T &res)
{
    res = 0; bool flag = 0;
    char c = getchar();
    while('0' > c || c > '9') { if(c == '-') flag = 1; c = getchar();}
    while('0' <= c && c <= '9') res = (res << 3) + (res << 1) + (c ^ 48), c = getchar();
    if(flag) res = -res;
}
template <class T, class ...Arg>
inline void read(T &res, Arg &...com){ read(res), read(com...);}
template <class T>
void out(T res)
{
    if(res > 9) out(res / 10);
    putchar(res % 10 + '0');
}
template <class T>
inline void write(T res)
{
    if(res < 0) putchar('-'), res = -res;
    out(res), putchar('\n');
}
const int N = 1e5 + 5;
int n, m, T;
int a[N], p[N], gn[N], sword[N];
multiset<int> s;
int gcd(int x, int y)
{
    return y ? gcd(y, x % y) : x;
}
inline int qpow(int x, int k, int mod)
{
    int res = 1;
    while(k)
    {
        if(k & 1) res = (__int128)res * x % mod;
        x = (__int128)x * x % mod;
        k >>= 1;
    }
    return res;
}
void exgcd(int a, int b, __int128 &x, __int128 &y)
{
    if(!b) return x = 1, y = 0, void();
    exgcd(b, a % b, y, x);
    y -= a / b * x;
}
inline int Lcm(int x, int y)
{
    return (__int128) x * y / gcd(x, y);
}
inline bool merge(int j)
{
    __int128 x, y;
    if((a[j] - a[1]) % gcd(p[1], -p[j]) != 0) return 0;
    exgcd(p[1], p[j], x, y);
    int mod = Lcm(p[1], p[j]);
    x = (__int128) x * (a[j] - a[1]) / gcd(p[1], p[j]);
    a[1] = ((__int128) p[1] * x + a[1] + mod) % mod;
    p[1] = mod;
    return 1;
}
int minn, ans;

inline int Inv(int a, int p)
{
    if (gcd(a, p) != 1) return -1;
    __int128 x, y;
    exgcd(a, p, x, y);
    return (x % p + p) % p;
}

inline void work()
{
    s.clear();
    minn = 0;
    read(n, m);
    for(int i = 1;i <= n;i ++) read(a[i]);
    for(int i = 1;i <= n;i ++) read(p[i]);
    for(int i = 1;i <= n;i ++) read(gn[i]);
    for(int i = 1, o;i <= m;i ++) read(o), s.insert(o);
    for(int i = 1;i <= n;i ++)
    {
        auto t = s.upper_bound(a[i]);
        if (t != s.begin()) -- t;
        sword[i] = *t;
        s.erase(t);
        s.insert(gn[i]);
    }
    for(int i = 1, o;i <= n;i ++)
    {
        minn = max(minn, (int)ceil((double)a[i] / sword[i]));
        if(gcd(sword[i], p[i]) != 1)
        {
            o = gcd(sword[i], p[i]);
            if(a[i] % o != 0) return puts("-1"), void();
            a[i] /= o, p[i] /= o, sword[i] /= o;
        }
        a[i] = (__int128)a[i] * Inv(sword[i], p[i]) % p[i];
    }
    for(int i = 2;i <= n;i ++)
        if(!merge(i)) return puts("-1"), void();
    ans = (a[1] + p[1]) % p[1];
    if (minn > a[1]) ans = ans + ((minn - a[1] + p[1] - 1) / p[1]) * p[1];
    write(ans);
}
signed main()
{
    read(T);
    while(T --) work();
    return 0;
}