根号分治+莫比乌斯反演的神仙题（太tm毒瘤了）。
Solution
首先式子很简单，$T$组询问：
$$
\sum _i^n\sum_j^m \phi(ij)
$$
首先$\phi$有个小性质：
$$
\phi(ij)=\frac{\phi(i)\phi(j)gcd(i,j)}{\phi(gcd(i,j))}
$$
证明：
$$
\begin{aligned}
\phi(i) * \phi(j)&=i\prod_{p|i}\frac{p-1}{p}j\prod_{q|j}\frac{q-1}{q} \\
&=ij\prod_{p|ij}\frac{p-1}{p}\prod_{q|gcd(i,j)}\frac{q-1}{q}
\end{aligned}
$$
下面那个化简就得到了。
我们现在来化原式子，强令$n<m$：
$$
\begin{aligned}
\sum_i^n\sum_j^m\phi(ij)&=\sum_d^n\frac{d}{\phi(d)}\sum_i^{\frac{n}{d}}\sum_j^{\frac{m}{d}}\phi(i)\phi(j)[gcd(i,j)==1] \\
&=\sum_d^n\frac{d}{\phi(d)}\sum_i^{\frac{n}{d}}\sum_j^{\frac{m}{d}}\phi(id)\phi(jd)\sum_{p|gcd(i,j)}\mu(p)\\
&=\sum_d^n\frac{d}{\phi(d)}\sum_{p}^{\frac{n}{d}}\mu(p)\sum_i^{\frac{n}{pd}}\sum_j^{\frac{m}{pd}}\phi(idp)\phi(jdp)\\
&=\sum_T^n\sum_{d|T}\frac{d}{\phi(d)}\mu(\frac{T}{d})\sum_i^{\frac{n}{T}}\sum_j^{\frac{m}{T}}\phi(Ti)\phi(Tj)\\
\end{aligned}
$$
发现$\sum_{d|T}\frac{d}{\phi(d)}\mu(\frac{T}{d})$可以$n\ln n$预处理，我们设其处理出来的值为$f(T)$。
我们来考虑后面这坨怎么办，$\sum_i^{\frac{n}{T}}\sum_j^{\frac{m}{T}}\phi(Ti)\phi(Tj)$，我们发现这两坨互相独立，且其本质相同，都是：$\sum_i^{\frac{n}{T}}\phi(Ti)$，我们令$g(k,n)=\sum_i^n\phi(i,k)$，然后这个东西有递推式：$g(k,n)=g(k,n-1)+\phi(kn)$，所以也可以$n \ln n$预处理。
重新回过头来，可以发现：
$$
\begin{aligned}
\sum _i^n\sum_j^m \phi(ij)=\sum_i^nf(i)\cdot g(i,\left \lfloor \frac{n}{i} \right \rfloor) \cdot g(i,\left \lfloor \frac{m}{i} \right \rfloor)
\end{aligned}
$$
我们发现这分不了块，只能$O(n)$做，但我们并不气馁，再次考虑套路的换元：
$$
t(a,b,n)=\sum_i^nf(i)\cdot g(i,a) \cdot g(i,b)
$$
$t$这个东西我们发现就是一个前缀和的形式，就可以数论分块，形式是这样的：
$$
\sum t(\left \lfloor \frac{n}{l} \right \rfloor,\left \lfloor \frac{m}{l} \right \rfloor,r)-t(\left \lfloor \frac{n}{l} \right \rfloor,\left \lfloor \frac{m}{l} \right \rfloor,l-1)
$$
问题转移到求解$t$这个式子，发现第一，二项有$n$中取值，第三项肯定有$n$种取值，结合在一起$n^3$，$T$来瓜起。
考虑根号平衡一手，因为当$l$越大，整数分块所包含的区间越大，暴力做的复杂度越高，所以我们设定一个阈值，$\left \lfloor \frac{n}{l} \right \rfloor$小于这个阈值我们就预处理，反之就暴力。
阈值取$50$比较合适。
总的时间复杂度：$O(n \ln n + n \cdot B^2+T(\sqrt n+\frac{n}{B})))$。
挺妙的（如果会的话）
Code
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
| #include<bits/stdc++.h>
#define LL long long
using namespace std;
template <class T>
inline void read(T &res)
{
res = 0; bool flag = 0;
char c = getchar();
while('0' > c || c > '9') { if(c == '-') flag = 1; c = getchar();}
while('0' <= c && c <= '9') res = (res << 3) + (res << 1) + (c ^ 48), c = getchar();
if(flag) res = -res;
}
template <class T, class ...Arg>
inline void read(T &res, Arg &...com){ read(res), read(com...);}
template <class T>
void out(T res)
{
if(res > 9) out(res / 10);
putchar(res % 10 + '0');
}
template <class T>
inline void write(T res)
{
if(res < 0) putchar('-'), res = -res;
out(res), putchar('\n');
}
const int N = 1e5 + 5, mod = 998244353, B = 50;
int n, m, T;
int primes[N], cnt, phi[N], mu[N], f[N];
int inv[N];
bool st[N];
inline int qpow(int x, int k)
{
int res = 1;
while(k)
{
if(k & 1) res = 1ll * res * x % mod;
x = 1ll * x * x % mod;
k >>= 1;
}
return res;
}
vector<int>g[N], t[B + 5][B + 5];
inline void init()
{
mu[1] = phi[1] = 1;
for(int i = 2;i < N;i ++)
{
if(!st[i]) phi[i] = i - 1, primes[++ cnt] = i, mu[i] = -1;
for(int j = 1;j <= cnt && primes[j] * i < N;j ++)
{
st[primes[j] * i] = 1;
if(i % primes[j] == 0)
{
mu[i * primes[j]] = 0;
phi[i * primes[j]] = 1ll * phi[i] * primes[j];
break;
}
mu[i * primes[j]] = -mu[i];
phi[primes[j] * i] = phi[i] * phi[primes[j]];
}
}
for(int i = 1;i < N;i ++) inv[i] = qpow(phi[i], mod - 2);
for(int i = 1;i < N;i ++)
for(int j = 1;j <= (N - 1) / i;j ++)
f[i * j] = (f[i * j] + 1ll * mu[j] * i * inv[i] % mod + mod) % mod;
for(int i = 1;i < N;i ++)
{
g[i].resize(N / i + 5);
g[i][0] = 0;
for(int j = 1;j <= (N - 1) / i;j ++)
g[i][j] = (LL)(g[i][j - 1] + phi[i * j]) % mod;
}
for(int i = 1;i <= B;i ++)
{
for(int k = i;k <= B;k ++)
{
t[i][k].resize(N / k + 5);
t[i][k][0] = 0;
for(int j = 1;j <= (N - 1) / k;j ++)
t[i][k][j] = (t[i][k][j - 1] + 1ll * f[j] * g[j][i] % mod * g[j][k] % mod) % mod;
}
}
}
inline void work()
{
read(n, m);
if(n > m) swap(n, m);
int res = 0;
for(int i = 1;i <= m / B;i ++) res = (res + 1ll * f[i] * g[i][n / i] % mod * g[i][m / i] % mod) % mod;
for(int l = m / B + 1, r;l <= n;l = r + 1)
{
r = min(n / (n / l), m / (m / l));
res = (res + (t[n / l][m / l][r] - t[n / l][m / l][l - 1] + mod) % mod) % mod;
}
write(res);
}
int main()
{
init();
read(T);
while(T --) work();
return 0;
}
|