群论。

代数系统

代数系统 $s$ 是个定义了乘法运算（$\times$）的集合，满足封闭性。例如（$N,+$），（$R,\times$）都是代数系统。

半群

乘法运算（$\times$）存在结合律的代数系统称为半群。

单位元：若半群$G$中存在$e$使得 $\forall g \in G,eg=ge=e$，则$e$称为单位元。存在单位元的半群称为幺半群或者幺群。

定理：幺群中单位元唯一。

证明：若存在两个单位元$e_1,e_2$ ，则$e_1=e_1e_2=e_2$。

左逆和右逆：对于$x$，若存在$y$使得$xy=1$，则$x$称为$y$的左逆，称$y$为$x$的右逆。

逆元：对于$x$，若存在$y$使得$xy=yx=1$，称$y$为$x$的逆元。

定理：幺群中，若一个元素同时存在左逆和右逆，则其存在逆元。

证明：不妨假设$zx = xy = 1$，则$y=(zx)y=z(xy)=z$。

定理：幺群中，若$x$存在逆元，则逆元唯一。证明同上。

若幺群中每个元素均存在逆元，则称为群。

若群中乘法满足交换律，则称为阿贝尔群。

若群$G$中存在一个元素$g$，使得
$$
\begin{aligned}
G = \{ g^0,g^1,\dots,g^k \}
\end{aligned}
$$
则$G$称为循环群，$g$称为$G$的生成元。不难发现循环群一定是阿贝尔群。

定义： $G$是有限群，设$g \in G$，$k$为最小的正整数使得$g^k$，$k$称为$g$的阶。因而$G$循环群当且仅当存在阶为$|G|$的元素。

环是定义了两个运算$+,\times$的集合$S$，满足$(S,+)$是阿贝尔群，且乘法关于加法具有分配律，乘法具有结合律。

域是定义了两个运算$+,*$的集合$S$，满足$(S,+)$和$(S,\times)$都是阿贝尔群，其中$0$是($S$,$+$)的单位元。

设$G$为群，$S\subseteq G$ ，若$x,y \in S$都有$xy^{-1} \in S$，则称$S$为$G$的子群，记为$S \le G$。

设$A$是个非空集合，$G$中每个元素$f$都是$A$到$A$的双射。则$G$称为$A$上的置换群。

不妨设$|A|=n$，$S_n$表示所有$A$到$A$双射构成的群（显然是群），则称$S_n$为$n$阶对称群（Symmetric Group）。显然所有$n$阶置换群都是$S_n$的子群。

陪集：对于群$G$和其子群$H$，对任意$a \in G$，定义$aH = \left { ah|h \in H \right }$为$H$的一个左陪集， $aH = \left { ha|h \in H \right }$为$H$的一个右陪集，且显然陪集大小均和$H$相同。

引理：$\forall a_1,a_2 \in G$ ，$a_1H$和$a_2H$要么不交，要么相等。

定理（陪集分解定理）：设$G$是有限群，则存在正整数$k$，使得$G=a_1H \cup a_2H \cup a_3H \dots \cup a_kH$，且这$k$个陪集两两不交。

推论（Language 定理）：任意有限群的子群大小一定是其大小的因数。

推论：任意元素的阶一定是群大小的因数。因而若群大小是质数，则一定是循环群。

后面不会，ppt放文件夹里了。